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BREVI RICHIAMI TEORICI

CAMPO TOPOGRAFICO

La superficie terrestre, considerata nella sua forma matematica, ovverosia come "geoide", può essere approssimata, per essere studiata più facilmente, con l'ellissoide terrestre, il quale, a seconda delle varie misurazioni effetttuate e degli strumenti impiegati, ha assunto nel tempo valori diversi.

L'ellissoide di riferimento, a livello internazionale, possiede le seguenti misure fondamentali, misurate da Hayford:

a=semiasse maggiore m. 6378.388,

b= semiasse minore m. 6356.909,

s= schiacciamento ((a-b)/a)= 1/297.

La cartografia italiana fa riferimento a questa convenzione.

Se all'ellissoide viene sostituita una sfera di un certo raggio tangente alla superficie terrestre, nel punto nel quale noi operiamo, è dimostrabile che nel raggio di circa 100 Km. ( campo geodetico ), le superfici della sfera e dell'ellisse sono pressochŽ coincidenti.

Se inoltre si immagina di sostituire alla sfera suddetta (Sfera Locale), un piano tangente al punto considerato, è dimostrabile che entro un raggio di circa 25 Km. le due superfici sono pressochè coincidenti anche se ai soli fini delle operazioni di carattere planimetrico.

Questa superficie intorno al punto di lavoro, determinata come sopra rappresenta il campo Topografico ed è utile ricordare che questo è lecito per le sole operazioni planimetriche.

Ai fini altimetrici, per effetto della curvatura terrestre, la schematizzazione con il piano di riferimento tangente è valida nel raggio di 100 - 250 ml. a secondo della accuratezza della misurazione ( 1 mm. - 1 cm.); oltre questi valori il piano di riferimento altimetrico diventa la superficie media dei mari;.

Il calcolo dell'errore di sfericità fornisce per i seguenti valori della distanza i rispettivi discostamenti altimetrici fra il punto sul piano tangente e il relativo punto sulla sfera locale.

                  100 m.                                      200 m.                                      400 m.                                      1000 m.

                  0.78 mm.                                  3.12 mm.                                  12.5 mm.                                  7.8 cm.

Seguono brevi richiami teorici alle procedure che fanno parte del programma, con gli schemi di riferimento e le convenzioni adottate e alle quali si farˆ riferimento nel seguito del manuale.

APERTURA A TERRA

(Chiamata anche "stazione fuori centro" o "riduzione al centro")

Serve a risolvere il problema dell'orientamento e quindi di dovere fare stazione in un punto, per la misurazione di angoli o distanze, qualora questo sia definito in modo da rendere impossibile lo stazionamento dello strumento (classico spigolo di un fabbricato esistente).

Si sceglie in prossimità del punto stazione, un punto le cui coordinate sono note oppure misurabili sulla carta. Da questo punto si leggono l'angolo su un altro punto lontano di coordinate note detto punto d'orientamento e l'angolo sul punto noto vicino; si misura quindi la distanza fra il punto stazione e il punto noto vicino.

La soluzione del problema si riconduce al calcolo dell'angolo Epsilon che si ottiene risolvendo il triangolo con il teorema dei seni dopo avere calcolato la distanza fra il punto d'orientamento e il punto noto vicino.

La precisione della risoluzione del problema dipende pertanto dal modo in cui le misurazioni effettuate si ripercuotono sull'angolo Epsilon

Saltando molta teoria, si puù dire che la variazione dell'angolo ha una struttura di questo tipo:

    dEpsilon =    +   * dD    +   * dAlfa

dove D è la distanza fra il punto noto vicino e il punto d'orientamento

dove r è la distanza fra il punto noto vicino e la stazione

Il primo termine è quello più grande e pertanto è quello che incide maggiormente; essendo moltiplicato per la variazione della distanza dal punto noto alla stazione, questa sarà la misurazione da effettuare con maggior accuratezza (quale ordine di grandezza si può dire che con una distanza fra il punto noto e il punto d'orientamento di 2 Km., per avere l'angolo Epsilon con la precisione del decimo di secondo, si deve avere la distanza con la precisione di 1 mm.).

Per il secondo termine, che tiene conto dell'errore della distanza punto noto - punto d'orientamento, si può dire che con una distanza fra il punto noto e il punto d'orientamento di 2 Km., avendo l'angolo Epsilon con la precisione del decimo di secondo, si deve avere la distanza con la precisione di 1 m., il che è relativamente facile ad ottenere.

Per il terzo termine che rappresenta la variazione di a sempre con le grandezze di cui sopra e con una distanza punto stazione - punto noto di 2 ml. si ottiene una precisione di circa 1',60 e quindi facilmente ottenibile.

Riassumendo la cura maggiore deve essere posta nella misura della distanza fra il punto noto e il punto stazione, mentre la misura della distanza fra il punto noto e il punto d'orientamento non necessita di precisione particolare e quella dell'angolo a si pu˜ effettuare quasi grossolanamente.

POTHENOT

Consiste nel determinare le coordinate di un punto dal quale si vedono tre punti di coordinate note.  Viene anche indicato come "intersezione inversa" o "metodo di Snellius".

E' necessario poter fare stazione nel punto di cui si vogliono le coordinate per poter misurare gli angoli a e b.

Non è il caso di approfondire la parte analitica che rispetta lo schema classico basato sul calcolo degli angoli X e Y e successiva risoluzione dei vari triangoli con il teorema dei seni.

La precisione nel calcolo delle coordinate del punto P dipende esclusivamente dall'accuratezza delle letture degli angoli a e b.

La somma degli angoli a + b + (B) deve essere diversa da 200,0000 perchŽ in questo caso si ottiene una espressione indeterminata di (X-Y)/2 e non è possibile calcolare le coordinate di P; inoltre, per una buona determinazione del punto P occorre che la somma degli angoli a + b + (B) sia uguale a 200 è 30-35 gradi.

CELERIMENSURA

La Celerimensura è un sistema per il rilievo planimetrico e altimetrico di punti di dettaglio.

Si può eseguire sia con il classico tacheometro e stadia oppure con distanziometri che forniscono direttamente la distanza inclinata fra la stazione e il punto di mira.

Nel caso del tacheometro le grandezze da rilevare sono : lettura al filo superiore, medio, inferiore, lettura del cerchio orizzontale e lettura del cerchio verticale, altezza della lettura da terra ( es. altezza del prisma).

Nel caso del distanziometro le grandezze da rilevare sono: distanza, lettura del cerchio orizzontale e lettura del cerchio verticale.

Si procede normalmente per irraggiamento partendo da un punto e misurando i vari punti notevoli che rientrano nel campo dello strumento impiegato, ruotando in senso orario o antiorario.

Lo schema di calcolo è quello semplice di trasformazione da un sistema di coordinate polari a coordinate cartesiane.

POLIGONALI

Le poligonali rappresentano una scala di lavoro intermedia fra le grandi reti di triangolazioni e la misura dei punti di dettaglio.

Lo scopo che ci si prefigge è quello di raffittire i punti di coordinate note e da questi procedere alla misura dei punti salienti per la restituzione del territorio.

Operativamente, una volta riattaccato il punto isolato di partenza, alla rete di triangolazione, si può determinare sul terreno una serie di punti ben distribuiti sulla zona da rilevare.

Le spezzate che uniscono questi punti (costituenti i vertici della poligonale e per Nonio anche i vertici delle stazioni di celerimensura), costituiscono la poligonale che pu˜ essere Aperta se termina con un punto qualsiasi, Appoggiata se termina con un punto di coordinate note o in qualche modo calcolabili, Chiusa se il punto finale coincide con quello di partenza.

Le operazioni di campagna sono comunque le stesse nei tre casi e consistono nello stabilire il senso di percorrenza della poligonale e nell'eseguire, per ogni vertice, le letture  delle grandezze relative al punto in avanti e al punto indietro.

Il calcolo delle coordinate dei vertici viene eseguito calcolando in ogni vertice l'azimut del segmento di poligonale e, mediante la distanza rilevata, le coordinate del vertice in esame rispetto al vertice precedente.

A seconda del tipo di poligonale sono eseguibili dei controlli con conseguenti compensazioni degli errori.

Nel caso della poligonale aperta non esistono elementi di controllo e pertanto è obbligo fidarsi delle misure effettuate. In questo caso assume molta importanza ai fini della bontˆ del risultato, una corretta "progettazione" della poligonale rispettando alcune norme qualitative come:

Queste norme dovrebbero essere comunque mantenute anche per le poligonali non aperte.

Nel caso delle poligonali chiuse o appoggiate a punti noti è comunque possibile confrontare i risultati dell'ultimo punto, calcolato come poligonale aperta, con i valori effettivi finali.

Nelle poligonali appoggiate, la differenza fra il valore calcolato dell'azimut finale e il valore derivante dalla misurazione, dˆ una valutazione sulla bontˆ del lavoro eseguito; qualora questo sia inferiore ad un certo valore di tolleranza, si pu˜ procedere alla compensazione dell'errore angolare in parti uguali sui vari azimut.

L'errore sull'ultimo angolo misurato di una poligonale nella quale siano stati misurati n angoli Alfa, è funzione di n e dell'errore è di ogni singolo Alfa.

Supponendo che tutti gli angoli siano stati misurati con lo stesso strumento, con le stesse modalità operative e dallo stesso operatore, questi avranno lo stesso errore e quindi per la propagazione pitagorica degli errori avremo che l'errore m-ultimo sarà uguale a .

Per quanto riguarda µ esso proviene dalla differenza fra due letture al cerchio e quindi, indicando con m1 l'errore su una lettura avremo che .

Poichè si può supporre che l'errore su una lettura sia uguale all'approssimazione consentita dallo strumento, ovvero almeno del primo centesimale o 30" sessagesimali, risulta che il valore probabile di µ è di 1√2 centesimali ~= 1c,5 centesimali o di 30"√2~= 45" sessagesimali.

Di conseguenza, l'errore sull'ultimo angolo di direzione, sarà pari a 1c,5√ n e 45"nei due casi.

Il catasto italiano, ha assunto come tolleranza T, il doppio di tale errore, ovvero per angoli centesimali e 1',5√n per gli angoli sessagesimali, in quanto, secondo il calcolo delle probabilità, esiste una probabilità molto piccola (~5%) di superare il doppio dell'errore medio.

In pratica vuole dire che se l'errore supera il doppio dell'errore medio la misurazione è inficiata da fattori grossolani e accidentali tali da indurre a scartarla.

Con gli angoli corretti si procede al calcolo delle coordinate dei vari vertici calcolando infine per il punto finale la differenza fra la X calcolata e la X effettiva che si chiamerˆ dx e la differenza fra la Y calcolata e la Y effettiva che si chiamerà  dy; la quantità , che rappresenta la distanza lineare fra il punto finale calcolato e quello reale effettivo rappresenta l'errore di chiusura lineare della poligonale.

L'errore di chiusura lineare della poligonale deve essere inferiore ad una certa tolleranza il cui valore tiene conto delle varie entità che concorrono alla formazione dell'errore complessivo.

Le principali fonti di errore consistono in :

nel caso di misurazione diretta con triplometri, l'espressione analitica della tolleranza lineare risulta in base ai tre termini corrispondenti a quanto sopra:

                 

dove a b c sono coefficienti ricavati su base statistica e assumono i seguenti valori:

                                   a             b             c

terreno piano                      0.015         0.0008        0.1

terreno collinoso                  0.020         0.0008        0.1

terreno montagnoso                 0.025         0.0008        0.1

Nel caso delle misurazioni effettuate con il tacheometro la tolleranza catastale per poligonali di uso corrente risulta T= 0.025√Ltot.

                                  

Una volta verificato che l'errore di chiusura lineare della poligonale è dentro la tolleranza, si può ripartire l'errore sui vari lati in modo proporzionale alla rispettiva lunghezza, assegnando ad ogni lato una

 

si chiamano gli errori unitari lineari della poligonale.

Nel caso della poligonale chiusa valgono gli stessi concetti illustrati per la poligonale appoggiata, dove ovviamente, il punto iniziale e finale coincidono.

La compensazione degli errori angolari si esegue verificando che la somma degli angoli interni del poligono disegnato dai lati della poligonale sia uguale a 200,0000 * (n-2) dove n è il numero dei vertici.

NORMATIVA CATASTALE POLIGONALI

Diamo alcuni cenni relativi al capitolo IV dell'Istruzione per il rilievo catastale di Aggiornamento.

Nella normativa catastale attuale le poligonali sono divise in numerosi tipi secondo gli strumenti utilizzati, la lunghezza, la attendibilità dei punti di appoggio.

Ecco una tabella riassuntiva dei vari punti della normativa:

Lungh.

Orientamento P12

Strumenti P13

attendibilità P12

Tolleranza P17

2000-5000

B1 o B4

1a 2c

C1

Catastale

<2000

B1, B2, B3, B4

B1, B4

1a 2c

2a 1b

C1

Catastale

Semplificata

<1000

B1

Tutti

C2 C3

Nessuna

Ricordiamo il contenuto dei vari capitoli:

12 A Caratteristiche geometriche della poligonale

A.1) Poligonale aperta

A.2) Poligonale chiusa

12 B Inserimento della poligonale nel contesto cartografico

B.1 Osservazioni angolari di orientamento all'inizio e alla fine

B.2 Osservazioni angolari di orientamento in un solo estremo

B.3 Nessuna operazione di orientamento

B.4 Poligonali chiuse con osservazioni poligonali di orientamento in almeno due stazioni.

12 C Attendibilità dei vertici

C.1 Inizio e fine su trigonometrici (Attendibilità < 10)

C.2 Un vertice su punto trigonometrico (attendibilità <10) e l'altro su punto fiduciale (attendibilità 10-12 o 20-68)

C.3 Inizio e fine su punti fiduciali (attendibilità 10-12 o 20-68)

13 Tipo di strumenti

1.a Goniometri <=20cc

1.b Goniometri <= 1c

2.a Stadia

2.b Longimetro

2.c Distanziometro elettro-ottico

Tolleranza

Viene definita in questo manuale "Tolleranza catastale" quella descritta ai paragrafi 17a e 17b2.

Viene definita "Tolleranza semplificata" quella descritta al paragrafo 17b1.

ALTRE NORME CATASTALI


Pregeo   

La grande parte delle procedure è supportata dalla versione di Pregeo 10.

Anche altri programmi sviluppati da sviluppatori privati e non collegati direttamente con il Ministero delle finanze supportano le nuove procedure in tutto o in parte, come, ad esempio, il programma Nonio A di Interstudio S.r.l.

Riga tipo 9

E' definito un tipo di riga da inserire nel libretto delle misure caratterizzato dal codice 9.

Questo tipo di riga ha la funzione di raccogliere i dati necessari per la corretta trasposizione sulla cartografia del rilievo tenendo conto della deformazione cartografica, della riduzione al piano cartografico e al tipo di precisione del rilievo stesso.

La forma è la seguente:

9|quota|precisione lineare|precisione angolare|est medio|Vers.PREGEO|nota

Il significato dei termini è il seguente:

Vettorizzazione dei contorni

In tutti i casi in cui l'oggetto del rilievo sia rappresentato da una linea chiusa il relativo contorno deve essere rappresentato da un unico poligono chiuso in modo che ne possa essere calcolata facilmente l'area.

Il tipo di linea dei vari tratti del poligono sarà differenziato per colore e per tratteggio secondo un'opportuna codifica. In pratica potremo avere i colori rosso, nero e verde e linee continue, tratteggiate o punteggiate.

Tutto questo sarˆ rappresentato nel libretto delle misure con assiemi di righe con codice 7 che riporteranno in fondo ad ogni riga una o più lettere secondo il tipo di linea con il seguente significato:

C:             Linea continua

T:              Linea tratteggiata

P:              Linea punteggiata

R:             Colore rosso

N:             Colore nero

V:             Colore verde

Ad esempio il codice "TR" significa "linea tratteggiata rossa".

Riportiamo un esempio:


Nel rilievo soprastante la particella 155 è stata suddivisa nelle particelle 155/a e 155/b ed è stato rilevato un fabbricato interrato rappresentato con linea rossa punteggiata.

Il libretto delle misure relativo alla figura risulta:

6|Fabbricato interrato|

7|5|901|903|904|902|901|rp|

6|Particella 55/a|

7|9|503|402|404|405|406|nc|

7|0|501|403|504|rc|

7|0|503|nc|

6|Particella 155/b|

7|7|504|403|501|406|rc|

7|0|502|505|504|nc|

Come si pu˜ notare il tratto 501, 403, 504 è ripetuto due volte.

Punti di importanza catastale

Al fine di meglio inquadrare un rilievo nel suo contesto è importante rilevare anche punti che di esso non facciano direttamente parte, ma che rappresentano comunque punti di riferimento e di appoggio ben identificabili sia sul terreno che sulla mappa.

Tali punti sono adesso codificati e sono distinti in due tipi: punti vertice e punti direzione.

Il punto vertice rappresenta un punto ben identificabile quale uno spigolo di un fabbricato, un manufatto, un triplice ecc.


Il punto direzione non è definibile come vertice, ma fa parte comunque di una linea ben identificabile.

I punti vertice e i punti direzione sono rappresentati nel libretto delle misure con righe tipo 7 (come i contorni) di un solo vertice seguite dalla sigla PV o PD

es.

7|1|209|PV|                               (il punto 209 è un punto vertice)

7|1|408|PD|                               (il punto 408 è un punto direzione)

Allineamenti e squadri

Al fine di poter valutare il peso delle misure utilizzate negli allineamenti e squadri in relazione all'insieme di tutte le misure comprese nel rilievo per ogni allineamento si deve indicare un commento che verrˆ riportato nelle righe con codice tipo 4.

I commenti sono:

*V* o *v* per allineamenti eseguiti a vista.

*S* o *s* per allineamenti rettilinei o ben evidenti sul terreno (come ad esempio le mura di un fabbricato) o individuati tramite strumenti topografici (teodolite o tacheometro).

Tipo mappale successivo a frazionamento

Quando si effettui la redazione di un tipo mappale su un lotto rilevato in precedenza interamente con frazionamento in base alle nuove procedure, si devono dare indicazioni sui punti comuni fra il rilievo del frazionamento e quello del tipo mappale in modo da inquadrare al meglio il secondo sul primo.

Queste informazioni vengono utilizzate tramite righe con codice 8 e le seguenti informazioni:

ad esempio:

123|145298.12|58742.21|50|91281256=256

Trattamento dei dati amministrativo-censuari

E' previsto di poter consegnare su dischetto, oltre al libretto delle misure relativo alla geometria del rilievi, un documento con i dati relativi ai modelli 51FTP (dimostrazione del frazionamento), 3SPC (individuazione del lotto edificatorio) e al Modello semplificato di variazione.

Tale presentazione è, naturalmente, del tutto facoltativa e deve comunque essere accompagnata dalla documentazione cartacea.

Tolleranze nella misura delle superfici

La normativa precedente stabiliva per la misura delle superfici una tolleranza pari a 1/500 della superficie stessa.

Questa relazione di tipo lineare è chiaramente non adatta per una misura di superficie e quindi è stata sostituita con una relazione di tipo quadratico (poichè l'area varia con il quadrato della misura rilevata).

La nuova relazione vale:

T = 1/3 ( A/1000 + sqrt(A))

Tale relazione stabilisce quando la misura di un'area debba ritenersi non variata rispetto ai valori precedentemente rilevati in altri rilievi.

CORREZIONE DEGLI ERRORI DI RAPPRESENTAZIONE

Quando sia selezionata la correzione cartografica nei Parametri della poligonale (Gauss o Cassini-Soldner) viene effettuato un calcolo rigoroso delle quote , degli angoli zenitali e delle distanze.

Queste correzioni vengono applicate a tutte le misure strumentali, mentre ricordiamo che le riduzioni al piano cartografico sono effettuate solo per le poligonali.

Correzione zenitale

Viene corretto l'errore di sfericitˆ e di rifrazione con la seguente formula:

Errore zenitale =  - d (1-k)/(2R)

Con:

d: distanza ridotta

R: raggio medio.

K: coefficiente di rifrazione assunto pari a 0,14.

Correzione della distanza

Per la correzione di altitudine viene utilizzata la seguente formula:

Correzione altitudine = -d Qm/R

Con:

d: distanza ridotta

Qm: altezza media del rilievo come definita nei parametri della poligonale.

R: raggio medio.

Per la correzione della curvatura viene utilizzata la seguente formula:

Correzione curvatura = d2/(24R)

Trasformazione di coordinate

Coordinate geografiche e cartesiane geocentriche


Si tratta di una trasformazione di coordinate, sia diretta sia inversa, molto importante in geodesia.

 

Da geografiche a geocentriche


  

dove

 

a = raggio equatoriale

b = raggio polare

e = eccentricità prima

N = raggio di curvatura della sezione in primo verticale (gran normale)


Da Geocentriche a Geografiche


dove

 

Calcolo dell’altezza h:

Per il calcolo della longitudine λ si utilizza la seguente espressione:

 

 

Coordinate Geografiche e Gauss Boaga


La trasformazione diretta ed inversa tra coordinate geografiche e cartografiche viene risolta con l'utilizzo di sviluppi in serie La cui precisione dipende dal numero di termini considerati. Si riportano nel seguito le formule di "Hirvonen"; pur non essendo le uniche note in letteratura, consentono un calcolo agevole di queste trasformazioni.


I coefficienti di queste formule sono stati determinati nell'ipotesi di lavorare nel sistema "sessadecimale". Le coordinate Est sono sempre riferite all'origine non convenzionale: nella trasformazione tra coordinate cartografiche (N,E) a coordinate Geografiche ( phi,lambda), la Est deve essere depurata di 500 km nel caso del sistema UTM o di 1500 km e 2520 km rispettivamente per il fuso Ovest e Est del sistema Gauss-Boaga. Per la trasformazione inversa (phi,lambda --> N,E), deve dunque essere sommata l'origine convenzionale. La longitudine λ’ è sempre riferita al meridiano centrale del fuso: ne consegue che prima dell'applicazione delle formule di passaggio da phi, lambda--> N,E la longitudine λ rispetto al meridiano di Monte Mario deve essere depurata dei valori:

Del coefficiente di contrazione si è tenuto conto nel valore dei coefficienti Ai. Nelle formule che seguono si è usata la convenzione secondo la quale l'asse delle ascisse (Est nel sistema cartografico) viene definito come Y e l'asse delle ordinate (Nord nel sistema cartografico) come X.


Da Geografiche a Gauss-Boaga


Dove

semiassi dell'ellissoide di Hayford

a = 6378388 m

b = 6356911,946 m

e’2 = ( e2 / (1 – e2)) = 0.006768170197

I coefficienti Ai sono funzione dell'ellissoide considerato:

A1 = 637654,50006 m

A2 = 16107,03468 m

A4 = 16,97621 m

A6 = 0,02227 m

Da Gauss-Boaga a Geografiche

dove:

Bibliografia

Barbarella M.; Gatti M., Note sulla trasformazione da sistema geocentrico a sistema ellissoidico, Bollettino di Geodesia e Scienze Affini n.2/1993 pp.109-132 IGM, Firenze

Bowring B.R., Trasformation from spatial to geographical coordinates, Survey Review vol. 23 July 1976 pp. 323-327

Bowring B.R., The accuracy of geodetic latitude and height equations, Survey Review vol. 28 October 1985

Mazzucato M.T., Globo terrestre, BIROMA Galliera V. Padova (1996)

Strang van Hees G.L., Method Bowring for the computation of latitude φ from rectangular coordinates (X,Y,Z), Bulletin n. 5/dic 1996 pp. 25-30 International Geoid Service, Milano

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